Ecuaciones Diferenciales Estocásticas y Procesos Autosimilares

Jorge Clarke

Aula 22 (Facultad de Matemáticas), 11.30 h.

 

Durante el siglo XX la Teoría de Probabilidades tuvo un desarrollo notable y comenzó a hacerse parte en el desarrollo de la ciencia de manera transversal. Desde los primeros descubrimientos del movimiento Browniano y la probabilidad inherente de forma natural en la mecánica cuántica (representada de cierta forma a través del principio de incertidumbre de Heisenberg), pasando por los tremendo aportes de Kolmogorov y, hasta hoy en día, en que la Teoría ya se ha subdividido en numerosas ramas (cada una de ellas motivadas por la modelación de fenómenos reales), hemos visto como la introducción de una componente aleatoria dentro de las ecuaciones diferenciales permite dar cuenta de la realidad de una mejor manera. Este tipo de ecuaciones es el que llamamos Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE's).

Cuando consideramos una sucesión de variables aleatorias estamos en frente de un proceso estocástico. Dichos procesos (hoy en día ampliamente usados en física, finanzas, hidrología, etc.) encuentran representación en la solución de EDE's. A a su vez, una familia importante dentro de los procesos estocásticos está formada por aquellos que satisfacen una condición de autosimilaridad: fenómeno que caracteriza a los fractales y que fue por primera vez estudiado por Kolmogorov y principalmente por Mandelbrot, a quien podríamos considerar como el padre de los fenómenos autosimilares. A esta familia de procesos pertenecen, por ejemplo, el movimiento Browniano y más generalmente, los movimientos Brownianos fraccionarios.

En esta charla veremos una introducción sencilla a los tópicos mencionados en los párrafos previos y además haremos una breve presentación de dos pequeños resultados que involucran EDE's dirigidas por procesos autosimilares. El primero es la consistencia y la no-Gaussianeidad asintotica de un estimador de mínimos cuadrados para la ecuación de Ornstein-Uhlenbeck con respecto a una sabana Browniana fraccionaria. El segundo es un estudio sobre la regularidad de la solución de la ecuación de la onda cuando la fuente considerada es fraccionaria en el tiempo y coloreada en el espacio.

Jorge Clarke es estudiante de Doctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática en la Universidad de Concepción (Chile).