Aproximación universal por redes neuronales de trasladadas de Delsarte de funciones base radiales

Cristian Arteaga Clemente

Aula 8 (Facultad de Matemáticas), 11.30 h.

 

En esta charla hablaremos de la familia de funciones denominada redes neuronales de funciones base radiales (RBFNNs, por sus siglas en inglés). Veremos que estas funciones actúan sobre un vector entrada como un grafo. Tras definir consistentemente RBFNNs al reemplazar la traslación usual por la de Delsarte, estudiamos en particular la subfamilia de RBFNNs en la que el factor de suavidad coincide en todos los nodos de la capa oculta. Probaremos que esta subfamilia, bajo buenas condiciones sobre la función núcleo (o función de activación) tiene la propiedad de aproximación universal. Esto es, la subfamilia de RBFNNs tiene la propiedad de ser densa en determinados espacios de funciones. Por último, daremos un ejemplo numérico de interpolación para ilustrar la viabilidad práctica de estos resultados teóricos.

Cristian Arteaga Clemente, concluyó la licenciatura en Matemáticas en la ULL en el curso 2007/08. Máster interuniversitario en Matemáticas, por la Universidad de Málaga (UMA) en el curso académico 2008/09. Ha sido beneficiario de la beca CajaCanarias para postgraduados en las convocatorias 2009, 2010 y 2011. Actualmente es becario Fundación CajaCanarias para postgraduados. El pasado 17 de enero fue la defensa de su tesis doctoral titulada “Interpolation and approximation by Delsarte translates of radial basis functions” bajo la dirección de la profesora Isabel Marrero, del departamento de Análisis Matemático.

 

Movimiento Browniano Ecuación de Langevin y explicación de Einstein

Juan Carlos Martín González

Aula 22 (Facultad de Matemáticas), 12.30 h.

Esta charla trata sobre el movimiento de una partícula en un fluido, descubierto en un principio por el botánico Robert Brown en 1827 mientras estudiaba las plantas. En sus estudios, examinó la suspensión de granos de polen dentro del óvulo de una planta y encontró que los granos estaban en un “estado oscilatorio rápido”. 

Esto dio lugar a una gran especulación años después, hasta que Albert Einstein diera una explicación para el movimiento Browniano como un movimiento aleatorio producido por las propias moléculas del líquido chocando con la partícula en cuestión, lo que producía el movimiento errático de dicha partícula.

Mediante la ecuación de Langevin, se explica y se llega a la solución del movimiento Browniano, aunque no fue así como Einstein lo resolvió. Veremos también una noción de cómo Einstein explicó este movimiento.

Comentaremos algunas aplicaciones de ecuaciones de Langevin y del movimiento Browniano, así como una manera de obtener el número de Avogadro a partir de dicha ecuación. 

Juan Carlos Martín González es estudiante de cuarto curso de Matemáticas de la Universidad de La Laguna.

Hay vida después de Fourier Análisis Armónico e Integrales Singulares

Wendolín Damián González

Aula 22 (Facultad de Matemáticas), 12.30 h.

El Análisis Armónico es un área del Análisis matemático que tuvo su origen en el estudio del problema de la ecuación del calor y las series de Fourier. Uno de los objetos más importantes en este estudio es la transformada de Hilbert, que viene dada por

 

y es el ejemplo más significativo de un tipo de operadores más generales, los operadores integrales singulares. Estos operadores juegan un papel fundamental en el estudio de la regularidad de las soluciones de ecuaciones en derivadas parciales de tipo elíptico así como en mecánica de fluidos, por lo que es necesario estudiar las condiciones necesarias y suficientes para controlarlos en espacios básicos de funciones como los espacios L^p.

En esta charla daremos una visión general de las técnicas de análisis real usadas para el estudio de estos operadores, conocidas como teoría de Calderón-Zygmund, y daremos detalles de la evolución de ésta en algunas de las direcciones en que se ha desarrollado en los últimos años.

Wendolín Damián González se licenció en en Ciencias Matemáticas por la Universidad de La Laguna en 2007. Máster en Finanzas Cuantitativas por la Escuela de Finanzas Aplicadas en 2008 y Máster Universitario en Matemática Avanzada por la Universidad de Sevilla en 2011. Actualmente es becaria predoctoral en el departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Sevilla, asociada al proyecto de Excelencia "Análisis Real y Armónico" de la Junta de Andalucía.

Ecuaciones Diferenciales Estocásticas y Procesos Autosimilares

Jorge Clarke

Aula 22 (Facultad de Matemáticas), 11.30 h.

 

Durante el siglo XX la Teoría de Probabilidades tuvo un desarrollo notable y comenzó a hacerse parte en el desarrollo de la ciencia de manera transversal. Desde los primeros descubrimientos del movimiento Browniano y la probabilidad inherente de forma natural en la mecánica cuántica (representada de cierta forma a través del principio de incertidumbre de Heisenberg), pasando por los tremendo aportes de Kolmogorov y, hasta hoy en día, en que la Teoría ya se ha subdividido en numerosas ramas (cada una de ellas motivadas por la modelación de fenómenos reales), hemos visto como la introducción de una componente aleatoria dentro de las ecuaciones diferenciales permite dar cuenta de la realidad de una mejor manera. Este tipo de ecuaciones es el que llamamos Ecuaciones Diferenciales Estocásticas (EDE's).

Cuando consideramos una sucesión de variables aleatorias estamos en frente de un proceso estocástico. Dichos procesos (hoy en día ampliamente usados en física, finanzas, hidrología, etc.) encuentran representación en la solución de EDE's. A a su vez, una familia importante dentro de los procesos estocásticos está formada por aquellos que satisfacen una condición de autosimilaridad: fenómeno que caracteriza a los fractales y que fue por primera vez estudiado por Kolmogorov y principalmente por Mandelbrot, a quien podríamos considerar como el padre de los fenómenos autosimilares. A esta familia de procesos pertenecen, por ejemplo, el movimiento Browniano y más generalmente, los movimientos Brownianos fraccionarios.

En esta charla veremos una introducción sencilla a los tópicos mencionados en los párrafos previos y además haremos una breve presentación de dos pequeños resultados que involucran EDE's dirigidas por procesos autosimilares. El primero es la consistencia y la no-Gaussianeidad asintotica de un estimador de mínimos cuadrados para la ecuación de Ornstein-Uhlenbeck con respecto a una sabana Browniana fraccionaria. El segundo es un estudio sobre la regularidad de la solución de la ecuación de la onda cuando la fuente considerada es fraccionaria en el tiempo y coloreada en el espacio.

Jorge Clarke es estudiante de Doctorado en Ciencias Aplicadas con mención en Ingeniería Matemática en la Universidad de Concepción (Chile).

Ecuaciones diferenciales no lineales y soluciones especiales

Daniel Rodríguez Luis

Aula 10 (Facultad de Matemáticas), 13.00 h.

Las ecuaciones diferenciales son muy utilizadas en un gran número de ramas del conocimiento científico para modelar el comportamiento de ciertos fenómenos. Su uso no se limita única y exclusivamente al campo de las matemáticas o al de la física, teniendo gran aplicabilidad en campos como la biología, la química y las ciencias sociales.

En muchos de los procesos que se modelizan se estudian tanto los llamados puntos de equilibrio (puntos en lo que el sistema no presenta variación alguna) como la estabilidad de estos puntos (sensibilidad a pequeñas perturbaciones), así como la existencia de soluciones periódicas. En la mayoría de problemas que se nos presentan no es posible obtener una solución explícita, sin embargo esto no es obstáculo para un estudio en profundidad del comportamiento de los problemas de valores iniciales, pudiendo reducirlo al estudio sobre los puntos críticos.

El seminario consistirá en una introducción a los conceptos como sistemas autónomos, puntos de equilibrio y soluciones periódicas. Seguidamente una clasificación de los puntos de equilibrio y algunos teoremas que garantizan la existencia de soluciones periódicas. Por último veremos cómo se aplican estos resultados tanto en problemas académicos como en problemas provenientes de la biología (Ecuaciones de competición de Especies) y de la bioquímica (El proceso de la Glicólisis).

Daniel Rodríguez Luis se licenció en Matemáticas por la Universidad de La Laguna en 2010. Está cursando el Máster Interuniversitario en Iniciación a la investigación en Matemáticas del grupo Matg5. Actualmente es becario FPI en el Departamento de Análisis Matemático en la Universidad de Zaragoza y en la resolución del Problema del Subespacio Invariante junto a Eva Gallardo Gutiérrez.